Η Ιστορία του Απείρου

Το άπειρο έχει απασχολήσει το ανθρώπινο μυαλό για χιλιάδες χρόνια.



Αποτελεί πρόκληση για θεολόγους και επιστήμονες το να το κατανοήσουν, να το τεμαχίσουν στα συστατικά του στοιχεία, να ανακαλύψουν εάν έχει σχήμα ή μέγεθος και τέλος να αποφασίσουν εάν ταιριάζει ή όχι στην κοσμοαντίληψη που θέλουμε να έχουμε για το σύμπαν.


Είναι επίσης ένα ζωντανό ζήτημα. Η αναζήτηση των φυσικών για μια θεωρία των πάντων, οδηγήθηκε, κατά κύριο λόγο, από τη στάση τους απέναντι στην έννοια του απείρου. Στην έκθεση ενός ερωτήματος που αφορά τη σωματιδιακή φυσική για παράδειγμα, η εμφάνιση μιας άπειρης απάντησης λαμβανόταν πάντα ως προειδοποίηση μιας λάθος κατεύθυνσης στην ερευνητική πορεία για τη θεωρία των πάντων.


Έτσι για δεκαετίες, η αναπόφευκτη εμφάνιση του απείρου ρυθμίστηκε από μια παράξενη διαδικασία αφαίρεσης, που εξάλειψε το άπειρο μέρος από τον υπολογισμό, για να αφήσει μόνο ένα πεπερασμένο υπόλειμμα που θα μπορούσε να συγκριθεί με την πραγματική παρατήρηση. Αν και τα αποτελέσματα αυτής της αποκαλούμενης «κανονικοποίησης» έφεραν λύσεις που συμφωνούσαν με τα πειράματα, υπήρξε πάντα βαθιά ανησυχία ότι αυτή η δυσαρμονία δεν θα μπορούσε να είναι μέρος της φυσικής πραγματικότητας. Τελικά, γιατί να νομιμοποιείται η αφαίρεση ενός μέρους της λύσης σε ένα πρόβλημα - συγκεκριμένα του μεγαλύτερου μέρους - και ποιο το όφελος να κρατηθεί το υπόλοιπο;


Όλα άλλαξαν το 1982, όταν οι θεωρίες των υπερχορδών υιοθετήθηκαν με ενθουσιασμό από μερικούς φυσικούς και αυτό ήταν μια συνέπεια της ιδιοφυούς λύσης που έδιναν στο πρόβλημα του απείρου. Η θεωρία των υπερχορδών δεν συμπεριλάμβανε το άπειρο με ανεπιθύμητο τρόπο. Και κατά παγκόσμια παραδοχή, ήταν μία πολύ καλύτερη από τις μέχρι τώρα θεωρίες.


Αναπάντητο έχει μείνει το ερώτημα σχετικά με το εάν θα πρέπει να περιμένουμε πως η ύλη είναι απείρως διαιρετή. Θα βρίσκουμε όλο και μικρότερα, πιο στοιχειώδη σωματίδια μέσα σε αυτά που ήδη έχουμε ανακαλύψει, σαν το ατέρμονο παιχνίδι με τις ρώσικες κούκλες που η μία βρίσκεται μέσα στην άλλη; Ή υπάρχει ένα όριο, ένα μικρότατο συστατικό, ένα μικρότερο μέγεθος ή μικρότερη χρονική στιγμή, που η διαδικασία αυτή της διαίρεσης θα βρει ένα τέλος; Αυτό φαίνεται πιθανό και το τέρμα αυτής της αναζήτησης θα υπαγορευθεί από το μέγεθος της θεμελιώδους, της πιο στοιχειώδους χορδής.


Οι απώτατες δομικές μονάδες της ύλης δεν είναι μικρές μπάλες που μπορούν να διαιρούνται και να ξανά-διαιρούνται και αυτό μέχρι το άπειρο. Μέχρι στιγμής δεν γνωρίζουμε εάν ο χώρος και ο χρόνος είναι σταθεροί ή αλλάζουν συνεχώς. Αυτό που ξέρουμε είναι ότι οι ξεχωριστές και ασυνεχείς δομές είναι απείρως πιο περίπλοκες στο χειρισμό τους από τις συνεχείς, τουλάχιστον εάν τις εξετάσουμε από ένα θεωρητικό πρίσμα.


Η θεωρία των χορδών αντανακλά τη γενική πρακτική εργασίας των επιστημόνων που πιστεύουν πως η εμφάνιση ενός πραγματικού απείρου σε μια θεωρία φυσικής, αποτελεί ένδειξη πως η θεωρία έχει ξεφύγει πέρα από κάθε πεδίο για δυνατότητες εφαρμογής της. Χρειάζεται βελτίωση και όταν αναβαθμίζεται, οι άπειρες έννοιες μετατρέπονται ομαλά σε μεγάλες πεπερασμένες ποσότητες, όπως μία ράμπα (κεκλιμένο επίπεδο) θα μπορούσε μαγικά να μετατραπεί σε σκάλα.


Οι κοσμολόγοι, από την άλλη μεριά, κατά παράδοση είχαν τη διάθεση να αντιμετωπίσουν περισσότερο σοβαρά την πρόβλεψη πραγματικών απείρων, ενώ ακόμα δεν απέκλειαν το ενδεχόμενο πως αυτό θα μπορούσε να διαλύσει τις πιο σημαντικές μαθηματικές μας θεωρίες. Η ενσωμάτωση της έννοιας του απείρου στις διάφορες κοσμοθεάσεις τους έχει αρκετή ποικιλία: το σύμπαν μπορεί να είναι άπειρο σε μέγεθος ή μπορεί να είναι μπροστά από μία άπειρη μελλοντική ιστορική εξέλιξη ή μπορεί να περιλαμβάνει άπειρο αριθμό άστρων.


Όλα αυτά τα πιθανά άπειρα, δεν φαίνεται να απειλούν άμεσα το φάσμα της πραγματικότητας. Τελικά, μπορεί καν να μην υπάρχουν. Τα πραγματικά άπειρα, ωστόσο, είναι κατά πολύ πιο ανησυχητικά και για δεκαετίες οι κοσμολόγοι ένιωθαν ευτυχείς να ζούνε με την ιδέα πως ο χώρος και ο χρόνος άρχισαν μερικά δισεκατομμύρια χρόνια πριν, σε κάποιο μυστηριώδες χωροχρονικό σημείο που το αποκάλεσαν μονάδα, όπου η θερμοκρασία, η πυκνότητα και σχεδόν όλα ήταν άπειρα.


Επιπλέον, όταν τα μεγάλα άστρα εξαντλούν τα ενεργειακά τους αποθέματα και καταρρέουν κάτω από τη δύναμη της βαρύτητας, εμφανίζονται καταδικασμένα -τουλάχιστον στις θεωρίες μας- να φτάσουν σε μια κατάσταση άπειρης πυκνότητας σε πεπερασμένο χρόνο. Με εντυπωσιακό τρόπο, αυτές οι περιπτώσεις εμφανίζονται τυλιγμένες με ένα μυστηριώδες όριο, γνωστό ως ο ορίζοντας γεγονότων μιας μαύρης τρύπας. Δεν μπορούμε να τις δούμε, μόνο να ανιχνεύσουμε τις βαρυτικές διαστρεβλώσεις που προκαλούν στον περιβάλλοντα χώρο τους.


Ο φυσικομαθηματικός Roger Penrose ικανοποιείται με την ιδέα πως οι καταστάσεις πραγματικού απείρου συμβαίνουν στο κέντρο μιας μαύρης τρύπας, αν και δεν μπορούμε να τις παρατηρήσουμε εκεί. Προτείνει πως οι νόμοι της φύσης παρέχουν μια μορφή «κοσμικής λογοκρισίας», που εξασφαλίζουν πως τέτοια φυσικά άπειρα είναι πάντοτε περιορισμένα από ορίζοντες γεγονότων. Αυτό μας θυμίζει τον ουράνιο μεσάζοντα που είχαν επικαλεστεί οι φιλόσοφοι του μεσαίωνα, για να αποφύγουν τη δημιουργία ενός γνωσιολογικού κενού σε οποιαδήποτε φυσική διαδικασία.


Οι κοσμολόγοι υπολογίζουν σε ένα άλλο παράξενο άπειρο: τη δυνατότητα ενός απείρου μέλλοντος. Ένα πλήθος ερωτήσεων προκύπτει από αυτήν τη δήλωση: πρόκειται το σύμπαν να διαρκέσει για πάντα; Τι σημαίνει για πάντα; Μπορεί η ζωή -σε οποιαδήποτε μορφή- να συνεχιστεί για πάντα; Και σε πιο ανθρωποκεντρικό επίπεδο, τι θα σήμαινε για μας από κοινωνική, προσωπική, νοητική, νομική, υλική και ψυχολογική πλευρά το να ζήσουμε για πάντα;


Επιπρόσθετα, υπάρχουν κόσμοι απείρου μεγέθους. Εδώ οι κοσμολόγοι πρέπει να έρθουν αντιμέτωποι με το «παράδοξο των απείρων απομιμήσεων», που είναι κάπως έτσι: εάν το σύμπαν είναι άπειρο και εξαντλητικά τυχαίο, τότε κάθε γεγονός -όπως η ύπαρξη του καθενός μας- που έχει πεπερασμένη πιθανότητα να συμβεί, πρέπει να συμβαίνει ταυτόχρονα απείρως συχνά, οπουδήποτε αλλού, αυτήν τη στιγμή!


Επιπλέον, για κάθε ιστορία που διαδραματίζεται, θα πρέπει να υπάρχουν όλες οι πιθανές εναλλακτικές καταστάσεις, οι οποίες διαδραματίζονται κάπου αλλού στο σύμπαν. Αυτό αποτελεί μεγάλη πρόκληση για κάθε τύπο ηθικής αλλά και για τη θεολογία σχεδόν κάθε θρησκείας (ας θυμηθούμε εδώ τον Τζορντάνο Μπρούνο (Giordano Bruno) και τη θεωρία του περί απείρων κόσμων, που στάθηκε αφορμή να τον κάψουν στην πυρά, εφόσον κλόνιζε συθέμελα τις μεσαιωνικές χριστιανικές θρησκευτικές αντιλήψεις).


Μερικοί επιστήμονες θεωρούν το γεγονός ιδιαίτερα προβληματικό, τόσο, ώστε θα συνηγορούσαν ευχαρίστως στη θεωρία της ύπαρξης ενός πεπερασμένου σε μέγεθος σύμπαντος. Είναι σημαντικό να αναφερθεί πως το πεπερασμένο της ταχύτητας του φωτός, μας προστατεύει από την επαφή με τους σωσίες και τους «διδύμους» εαυτούς μας σε άλλα μέρη του άπειρου κόσμου. Για πρακτικούς σκοπούς λοιπόν, μπορούμε να δούμε και να λάβουμε σήματα από ένα πεπερασμένο τμήμα του σύμπαντος μόνο, περίπου 14 δισεκατομμυρίων ετών φωτός μακριά.

Οι μαθηματικοί έπρεπε επίσης να αντιμετωπίσουν την πραγματικότητα του απείρου. Το ζήτημα αυτό είναι ένα από τα μεγαλύτερα που κλήθηκαν ποτέ να αντιμετωπίσουν οι μαθηματικοί. Πριν από εκατό χρόνια οι μαθηματικοί έμπλεξαν σε έναν «παγκόσμιο πόλεμο» σχετικά με τη σημασία των απείρων, αφήνοντας πολλά θύματα και αρκετή πικρία. Μερικοί ήθελαν να εξαφανίσουν τα άπειρα από τα μαθηματικά και να επαναπροσδιορίσουν τα όριά των μαθηματικών, αποκλείοντας όλες τις θεάσεις των απείρων μεγεθών ως πραγματικά μεγέθη, πράγμα που μέχρι τότε επιτρεπόταν να εμφανίζεται στις μαθηματικές αποδείξεις. Περιοδικά σταμάτησαν να εκδίδονται και μαθηματικοί εξοστρακίστηκαν, επειδή ήθελαν να αποκλείσουν εκείνους που ήθελαν τα άπειρα να υπάρχουν στα μαθηματικά.


Στα τέλη του 19ου αιώνα ο George Cantor κατάφερε να βγάλει νόημα από τα παράδοξα του απείρου, πράγμα που είχε αρχικά προσδιοριστεί από τον Αλβέρτο της Σαξονίας και το Γαλιλαίο. Πώς καθορίζεται μία συλλογή από άπειρα; Μπορεί ένα άπειρο (μέγεθος, έννοια) να είναι μεγαλύτερο από ένα άλλο; Υπάρχει ένα απόλυτο άπειρο, πέρα από το οποίο τίποτε μεγαλύτερο δεν μπορεί να κατασκευαστεί ή να συλληφθεί, ή τα άπειρα συνεχίζονται επ’ άπειρον; Αυτές είναι οι ερωτήσεις που απάντησε ο Cantor με ακριβή τρόπο.


Αλλά δεν έζησε αρκετά για να δει τους καρπούς της ιδιοφυΐας του να συναντούν το αναγνωρισμένο σώμα των μαθηματικών. Παραγκωνισμένος και υποβιβασμένος από φανατικούς αντιπάλους των απείρων μαθηματικών, τα παράτησε για μεγάλο χρονικό διάστημα και έπαθε κατάθλιψη. Πέθανε σε ένα σανατόριο.


Κατά περίεργο τρόπο, αυτοί που εκμεταλλεύτηκαν πρώτοι τη σημασία του έργου του Cantor δεν ήταν οι μαθηματικοί, αλλά οι θεολόγοι. Αρχαίοι και σύγχρονοι θεολόγοι έχουν αγωνιστεί να κατανοήσουν το άπειρο που βρίσκεται κρυμμένο μέσα στα δόγματα και τις πεποιθήσεις τους. Είναι ο Θεός άπειρος; Δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερος από άλλα, πιο εγκόσμια άπειρα, όπως το σύνολο όλων των θετικών ακέραιων αριθμών; Εδώ λοιπόν έχουμε τη δυνατότητα να διακρίνουμε -όπως έκανε ο Cantor- τις ποικιλίες του απείρου: τα μαθηματικά άπειρα, τα φυσικά και τα αφηρημένα (υπερβατικά).


Οι αρχαίοι φιλόσοφοι, αρχίζοντας από το Ζήνωνα, γοητεύτηκαν από τα παράδοξα του απείρου στις πολλές πτυχές που μπορεί κανείς να τα συναντήσει, αλλά τι γίνεται με τους σύγχρονους φιλοσόφους; Για τι είδους προβλήματα ανησυχούν; Υπάρχουν ζωτικά ζητήματα στην επαφή μεταξύ φιλοσοφίας και επιστήμης που αφορούν το εάν είναι πιθανό να εκτελεστεί ένας άπειρος αριθμός στόχων σ’ έναν πεπερασμένο χρόνο.


Φυσικά, αυτή η απλή ερώτηση χρειάζεται κάποια διευκρίνιση: όπως, τι ακριβώς εννοούμε όταν λέμε «πιθανό», «στόχοι», «άπειρο», «αριθμός», πεπερασμένο» και ακόμα περισσότερο, τι εννοούμε όταν λέμε «χρόνος»; Κινούμενοι όλο και με μεγαλύτερο εύρος στη μοντέρνα επιστήμη, συναντάμε μια σειρά παράξενων προβλημάτων που σχετίζονται με το άπειρο: είναι το σύμπαν άπειρο ή πεπερασμένο; Θα κρατήσει για πάντα; Είναι το παρελθόν άπειρο; Είναι αλήθεια πως οτιδήποτε είναι πιθανό να συμβεί σε ένα άπειρο σύμπαν; Θα μπορούσαν να υπάρχουν τηλεοπτικά δίκτυα χωρίς reality shows; Υπάρχουν προβλήματα που θα απαιτούσαν άπειρο χρόνο για οποιονδήποτε υπολογιστή, προκειμένου να επιλυθούν;


Οι περισσότεροι πιστεύουν ότι το άπειρο και το απεριόριστο είναι το ίδιο πράγμα. Δεν είναι. Υπάρχουν πεπερασμένα πράγματα που είναι απεριόριστα, για παράδειγμα, η επιφάνεια μιας τέλειας σφαίρας ή της γης. Οι επιφάνειες αυτών των σφαιρών είναι πεπερασμένες σε μέγεθος, όμως δεν έχουν άκρες ή όρια. Μπορείς να περπατάς στην επιφάνειά τους για πάντα και ποτέ να μη βρεις ένα τέλος ή να φύγεις από αυτές.
Επίσης υπάρχουν περίεργες περιπτώσεις, όπου ο χρόνος μπορεί να είναι πεπερασμένος, αλλά ωστόσο να μην έχει ένα τέλος. Συνήθως φανταζόμαστε το χρόνο σα μια ευθεία γραμμή που εκτείνεται μπροστά μας. Όπως μία σειρά από στρατιώτες που βηματίζουν ο ένας πίσω από τον άλλο, που ο καθένας μπορεί να πει ποιος είναι εμπρός και ποιος είναι πίσω, έτσι και με το γραμμικό χρόνο μπορούμε να διακρίνουμε το μέλλον μας από το παρελθόν μας. Αλλά φανταστείτε τους να βηματίζουν σε κύκλο και ο καθένας θα είναι συγχρόνως μπροστά και πίσω από κάθε άλλον. Και έτσι συμβαίνει, εάν ο χρόνος αναπηδήσει πίσω, σχηματίζοντας έναν κύκλο.


Εάν ο χρόνος είναι κυκλικός με αυτόν τον τρόπο, επιτρέπει να συμβούν ταξίδια στο χρόνο και όλων των ειδών τα παράδοξα θα μπορούσαν να συμβούν. Θα μπορούσατε να διαβάζετε το άρθρο αυτό σήμερα και να ταξιδέψετε πίσω στο χρόνο στο 2000, να με συναντήσετε και να μου πείτε λέξη προς λέξη το περιεχόμενο αυτού του άρθρου, πέντε χρόνια πριν το γράψω. Μετά από πέντε χρόνια εγώ θα το έγραφα.
nea-acropoli-athens.gr